Έστω $a, b, c$ οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-x-1=0$.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$
Θέτουμε $t= \dfrac {1-x}{1+x}\,()$ , όπου $x$ ρίζα της δοθείσας τριτοβάθμιας. Λύνοντας την $()$ ως προς $x$ θα βρούμε $x= \dfrac {1-t}{1+t}$, οπότε θέτοντας στην τριτοβάθμια ισχύει
$\displaystyle{\left ( \dfrac {1-t}{1+t}\right )^3- \dfrac {1+t}{1-t} -1 =0}$
Πολλαπλασιάζοντας επί \((1-t)^3\) θα βρούμε μετά τις πράξεις $t^3-t^2+7t+1=0$. Από Vieta το άθροισμα των ριζών της τελευατίας είναι $1$. Αλλά από την $(*)$ οι ρίζες της τελευταίας είναι οι $\displaystyle{ \dfrac {1-a}{1+a}, \, \dfrac {1-b}{1+b},\, \dfrac {1-c}{1+c}}$. Συνεπώς
$\displaystyle{ \dfrac {1-a}{1+a}+ \dfrac {1-b}{1+b}+ \dfrac {1-c}{1+c}=1}$