Μήνας: Φεβρουάριος 2021

Πηγή: idrysi_sholeion_epistimon_protasi_gia_ton_ethniko_dialogo-1.pdf

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=27&t=69043&fbclid=IwAR2mp_qmhIRqagKe7JOcNT_0G639jGd_7TCqXrisfX3NC7LBsCf12IidHUU#p335779

Έστω $a, b, c$ οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-x-1=0$.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$

Θέτουμε $t= \dfrac {1-x}{1+x}\,()$ , όπου $x$ ρίζα της δοθείσας τριτοβάθμιας. Λύνοντας την $()$ ως προς $x$ θα βρούμε $x= \dfrac {1-t}{1+t}$, οπότε θέτοντας στην τριτοβάθμια ισχύει

$\displaystyle{\left ( \dfrac {1-t}{1+t}\right )^3- \dfrac {1+t}{1-t} -1 =0}$

Πολλαπλασιάζοντας επί \((1-t)^3\) θα βρούμε μετά τις πράξεις $t^3-t^2+7t+1=0$. Από Vieta το άθροισμα των ριζών της τελευατίας είναι $1$. Αλλά από την $(*)$ οι ρίζες της τελευταίας είναι οι $\displaystyle{ \dfrac {1-a}{1+a}, \, \dfrac {1-b}{1+b},\, \dfrac {1-c}{1+c}}$. Συνεπώς

$\displaystyle{ \dfrac {1-a}{1+a}+ \dfrac {1-b}{1+b}+ \dfrac {1-c}{1+c}=1}$

Euler’s conjecture, a theory proposed by Leonhard Euler in 1769, hung in there for 200 years. Then L.J. Lander and T.R. Parkin came along in 1966, and debunked the conjecture in two swift sentences. Their article — which is now open access and can be downloaded here — appeared in the Bulletin of the American Mathematical Society. If you’re wondering what the conjecture and its refutation are all about, you might want to ask Cliff Pickover, the author of 45 books on math and science. He brought this curious document to the web last week.

Πηγή: The Shortest-Known Paper Published in a Serious Math Journal: Two Succinct Sentences | Open Culture