Παράγωγοι και μερικές παράγωγοι.

Η έννοια της παραγώγου για πραγματική συνάρτηση μίας μεταβλητής

Ο λόγος μεταβολής μίας συνάρτησης και η μέση ταχύτητα

Το όριο του λόγου μεταβολής και η στιγμιαία ταχύτητα

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Γεωμετρία πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Επιφάνειες δευτέρου βαθμού: https://www.esofia.net/sites/default/files/indicative-capital/ch1.pdf

Επίπεδο από το (0,0,2)

https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=f%28x%2Cy%29%3D2

Γενική μορφή επιπέδου z = ax + by +c

https://www.geogebra.org/calculator/bfeauhhf

3D plots Real part
Σφαίρα Κ(0,0,0), ρ =1

https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=f%28x%2Cy%29%3Dsqrt%281-x%5E2+-+y%5E2+%29

https://www.geogebra.org/3d/shfangtz

καμπύλες στάθμης

3D plot
Παραβολοειδές εκ περιστροφής

https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=f%28x%2Cy%29%3Dx%5E2+%2B+y%5E2

https://www.geogebra.org/m/jccuqfun

https://www.geogebra.org/classic/jccuqfun

3D plot
Υπερβολικό παραβολοειδές (Σαμάρι – Σάγμα)

https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=f%28x%2Cy%29+%3D+x%5E2+-+y%5E2

https://www.geogebra.org/3d/hdkazcav

Κωνικές τομές

https://www.geogebra.org/3d/da9ks7uw

Ισοϋψείς καμπύλες

Κατευθυνόμενη παράγωγος

Η κατευθυνόμενη παράγωγος στη διεύθυνση ενός διανύσματος u είναι το εσωτερικό γινόμενο της κλίσης grad με το διάνυσμα u

Εύρεση κατεύθυνσης με μέγιστη πτώση…

Αν η κλίση είναι διαφορετική του 0, τότε δείχνει προς εκείνη την κατεύθυνση κατά μήκος της οποίας η συνάρτηση αυξάνεται ταχύτερα.

Ενώ η αντίθετη της κλίσης δείχνει την κατεύθυνση προς την οποία φθίνει γρηγορότερα.

ΕΦαπτόμενο επίπεδο

ΤΟ εφαπτόμενο επίπεδο στο (x0,y0) έχει εξίσωση:

κλίση f(x0,y0) . (x-x0 , y-y0) = 0

Εύρεση ακροτάτων

Δύο κορυφές

https://www.geogebra.org/3d/n326xybq

Παίζοντας Dodgem

Παίζοντας dodgem εδώ.

https://www.geogebra.org/classic/hrc7hddk

Δύο παίκτες σε έναν πίνακα 4Χ4 έχουν τρία καπάκια τοποθετημένα σε δύο διαδοχικές πλευρές του τετραγώνου με κενή τη γωνία που συνορεύουν, όπως στο σχήμα:

Μετακινούν στη σειρά του ο καθένας ένα καπάκι μπροστά ή δεξιά ή αριστερά (όχι πίσω) με στόχο να εξάγουν όλα τα καπάκια από την απέναντι πλευρά από την οποία εκίνησαν.

Dodgem is a simple abstract strategy game invented by Colin Vout in 1972 while he was a mathematics student at the University of Cambridge as described in the book Winning Ways. It is played on an n×n board with n-1 cars for each player—two cars each on a 3×3 board is enough for an interesting game, but larger sizes are also possible.

Play

The board is initially set up with n-1 blue cars along the left edge and n-1 red cars along the bottom edge, the bottom left square remaining empty. Turns alternate: player 1 (“Left”)’s turn is to move any one of the blue cars one space forwards (right) or sideways (up or down). Player 2 (“Right”)’s turn is to move any one of the red cars one space forwards (up) or sideways (left or right).

Cars may not move onto occupied spaces. They may leave the board, but only by a forward move. A car which leaves the board is out of the game. There are no captures. A player must always leave their opponent a legal move or else forfeit the game.

The winner is the player who first gets all their pieces off the board, or has all their cars blocked in by their opponent.

The game can also be played in Misere, where you force your opponent to move their pieces off the board.[1]

Theory

The 3×3 game can be completely analyzed (strongly solved) and is a win for the first player—a table showing who wins from every possible position is given in Winning Ways, and given this information it is easy to read off a winning strategy.

David des Jardins showed in 1996 that the 4×4 and 5×5 games never end with perfect play—both players get stuck shuffling their cars from side to side to prevent the other from winning. He conjectures that this is true for all larger boards.

For a 3×3 board, there are 56 reachable positions. Out of the 56 reachable positions, 8 of them are winning, 4 of them are losing, and 44 are draws. [2]

Το φαινόμενο του ξερόλα: Το φαινόμενο Dunning-Kruger

ΠΗΓΕΣ:

https://braining.gr/blog/%CF%84%CE%BF-%CF%86%CE%B1%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF-dunning-kruger-%CE%B3%CE%B9%CE%B1%CF%84%CE%AF-%CE%BF%CE%B9-%CE%B7%CE%BB%CE%AF%CE%B8%CE%B9%CE%BF%CE%B9-%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%AF%CE%B6%CE%BF%CF%85%CE%BD-%CF%80%CF%89%CF%82-%CE%B5%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%B9-%CE%B5%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%AF.html

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A6%CE%B1%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF_%CE%9D%CF%84%CE%AC%CE%BD%CE%B9%CE%BD%CE%B3%CE%BA-%CE%9A%CF%81%CE%BF%CF%8D%CE%B3%CE%BA%CE%B5%CF%81

Dunning-Kruger effect, in psychology, a cognitive bias whereby people with limited knowledge or competence in a given intellectual or social domain greatly overestimate their own knowledge or competence in that domain relative to objective criteria or to the performance of their peers or of people in general.

https://www.britannica.com/science/Dunning-Kruger-effect

Μπουκάλι Klein bottle

https://www.facebook.com/photo/?fbid=10227080267209389&set=gm.3226794440965931&idorvanity=1567682496877142

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A6%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B7_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%9A%CE%BB%CE%AC%CE%B9%CE%BD

Στην τοπολογία, ένα κλάδο των μαθηματικών, η Φιάλη του Κλάιν ή το Μπουκάλι του Κλάιν, είναι ένα παράδειγμα μιας μη-προσανατολιζόμενης επιφάνειας. Είναι μια δισδιάστατη πολλαπλότητα πάνω στην οποία δεν μπορεί να οριστεί ένα σύστημα για τον προσδιορισμό ενός κάθετου διανύσματος. Με απλά λόγια, είναι μια μονόπλευρη επιφάνεια στην οποία, αν περπατήσει κανείς επάνω της, θα μπορούσε να φτάσει στο σημείο στο οποίο ξεκίνησε, αλλά ανάποδος, δηλαδή με το κεφάλι να είναι προς την κατεύθυνση την οποία ήταν τα πόδια του. Άλλα μη-προσανατολιζόμενα αντικείμενα περιλαμβάνουν τη λωρίδα του Μέμπιους και το πραγματικό προβολικό επίπεδο. Ενώ μια λωρίδα του Μέμπιους είναι μια επιφάνεια με σύνορο, η φιάλη του Κλάιν δεν έχει σύνορο (για σύγκριση, μια σφαίρα είναι μια προσανατολιζόμενη επιφάνεια χωρίς σύνορο).

Η φιάλη του Κλάιν περιγράφηκε για πρώτη φορά το 1882 από τον Γερμανό μαθηματικό Φέλιξ Κλάιν. Είναι πιθανό να είχε ονομαστεί αρχικά ως η επιφάνεια του Κλάιν (“Kleinsche Fläche“) και στη συνέχεια να παρερμηνεύτηκε ως η φιάλη του Κλάιν (“Kleinsche Flasche“), η οποία μπορεί να οδήγησε τελικά στην υιοθέτηση αυτού του όρου και στη γερμανική γλώσσα.[1]

In topology, a branch of mathematics, the Klein bottle is an example of a non-orientable surface; it is a two-dimensional manifold against which a system for determining a normal vector cannot be consistently defined.

In practical terms, they are remarkably difficult to fill with water!

Συνηθέστεροι Μαθηματικοί Τύποι και Μονάδες της Γεωργικής Μηχανικής

https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/3887/2/03_chapter_2.pdf

https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/3887/2/03_chapter_2.pdf

Ένα Ιδιότυπο μπιλιάρδο

του Νίκου Μαυρογιάννη από εδώ https://www.facebook.com/100009159791448/videos/489384459832332/

Έχουμε ένα σημείο Α(0,a) στον θετικό ημιάξονα των y. Μας ενδιαφέρει να βρούμε μια συνάρτηση ορισμένη στο R που παίρνει θετικές τιμές με την ακόλουθη ιδιότηταΑν από οποιοδήποτε σημείο X του άξονα των x σκοπεύσουμε το Α η ανακλώμενη στην γραφική παράστασαη της f να είναι κάθετη στον στον άξονα των x. Mια μερική απάντηση μπορεί να δοθεί με ύλη Β’ Λυκείου: Αρκει να πάρουμε μια παραβολή y=cx²+d (c, d θετικά) με εστία το A και να αξιοποιήσουμε την ανακλαστική ιδιότητα της. Η γενική απάντηση είναι πιο εκτεταμένη. Απαιτεί την επίλυση της διαφορικής εξισώσης x(y’)²-2yy’+2ay’-x=0 η οποία είναι τύπου Lagrange. Ωστόσο με κάποια “υποστηρίγματα” μπορεί να λυθεί με ύλη Γ Λυκείου. Ενδιαφέρον είναι ότι δημιουργείται με παιγνιώδη τρόπο η 1-1 και επί απεικόνιση Χ→Υ που απεικονίζει το R σε ένα ανοικτό διάστημα αποδεικνύοντας ότι είναι ισοπληθικά (φυσικά αυτό γίνεται και αλλιώς λ.χ. με την y=tanx η την y=x/(1+|x|)).Επίσης ενδιαφέρον παρουσιάζει και η κατασκευή του μπιλιάρδου στην Geobebra όπου κάποια ζητηματα με την ρύθμιση της τροχιάς και την ταχύτητα τη μπίλιας είναι διδακτικά. Θα μπορούσε να αποτελέσει βάση για σχολική εργασία όπου δίνεται η ευκαιρία να έλθουν τα παιδιά σε επαφή με ιδέες των εικονιζομένων (Απολλώνιος, Johann Bernoulli, Lagrange, Cantor).

https://www.facebook.com/nsmavrogiannis/videos/489384459832332/

82ος Διαγωνισμός ΕΜΕ – ΘΑΛΗΣ 2022

Θέματα Λυκείου