- Να βρεθεί συνάρτηση $f$, ώστε:
- $$f:(-1, + \infty) \rightarrow (-1 , +\infty)$$, και
- $$ (x+1)f'(x)-x(f(x) + 1) , f(0)= 0 $$
Υπόδειξη: Εφόσον χ>-1 ισχύει ισοδύναμα ότι:
$$f'(x) = \frac{x}{x+1} (f(x) + 1) $$
Θέτουμε $$h(x) = f(x) + 1 \Rightarrow h'(x) = f'(x)$$ και η εξίσωση γίνεται:
$$h'(x) = \frac{x}{x+1} h(x) \Leftrightarrow$$
$$h'(x) -\frac{x}{x+1} h(x) = 0 $$
που θυμίζει πολλαπλασιαστή Euler…
Πρεπει να βρούμε αρχική της $$-\frac{x}{x+1}$$ και να πολλαπλασιάσουμε με $$e^{\int A(x) }$$
Βρίσκουμε μία αρχική για την $$ \int -\frac{x}{x+1} = \int -\frac{x+1-1}{x+1} =- \int 1-\frac{1}{x+1} = -x + ln|x+1|$$
Οπότε πολλαπλασιάζουμε με $$e^{ -x + ln(x+1)}$$ και έχουμε:
$$e^{ -x + ln(x+1) } h'(x) -e^{ -x + ln(x+1)} \frac{x}{x+1} h(x) = 0 \Leftrightarrow$$
$$e^{ -x + ln(x+1)} h'(x) + (e^{ -x + ln(x+1)})’ h(x) = 0 $$
$$(e^{ -x + ln(x+1)} h(x))’ = 0 $$
$$e^{ -x + ln(x+1)} h(x) = c $$
$$ h(x) = c \cdot e^{ -x + ln(x+1)} $$
$$ h(x) = c (\cdot e^{ -x} +x+1 )$$
Απ’ όπου προκύπτει εύκολα η \(f(x)\) .