Με αφορμή ένα «πενιχρό» παράδειγμα αριθμητικής που μπορεί να είναι και τυχαίο ή ίσως και να είναι :
\(5^5 \cdot 4^4 \cdot 3^3 \cdot 2^2 \cdot 1^1 \)
είναι ίσο με το πλήθος των millisecond μίας ημέρας!
Γιατί; Μπορείτε να το αποδείξετε, χωρίς να το υπολογίσετε;
Πράγματι, έχουμε διαδοχικά:
\( 5^5 \cdot 4^4 \cdot 3^3 \cdot 2^2 \cdot 1^1 = \mathbb{5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \mathbb{\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 =\)
\(= 1000\cdot 60 \cdot 60 \cdot 24\)
που είναι τα millisecond των 24 ωρών μίας ημέρας.
Για δούμε τι γράφει ο φίλος μας ο τσατ:
Η «απίστευτη αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών» είναι ένα από τα πιο βαθιά φιλοσοφικά ερωτήματα, που έχει απασχολήσει μαθηματικούς, φυσικούς και φιλοσόφους. Ο όρος έγινε διάσημος από τον φυσικό Eugene Wigner στο δοκίμιό του “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” (1960), όπου παρατήρησε ότι τα Μαθηματικά, παρότι δημιουργήθηκαν ως αφηρημένα νοητικά κατασκευάσματα, περιγράφουν με εξαιρετική ακρίβεια τη φυσική πραγματικότητα. Πώς εξηγείται αυτό;
Πιθανές εξηγήσεις:
1. Η φύση είναι μαθηματική
Ίσως η ίδια η φύση είναι εγγενώς μαθηματική. Δηλαδή, οι νόμοι που διέπουν τον κόσμο έχουν μαθηματική μορφή και εμείς απλώς τους ανακαλύπτουμε. Σε αυτήν την άποψη, τα Μαθηματικά είναι η “γλώσσα” του σύμπαντος.
2. Τα Μαθηματικά είναι δημιουργία του νου μας – αλλά προσαρμοσμένη στην εμπειρία
Μια άλλη άποψη είναι ότι τα Μαθηματικά είναι ανθρώπινη επινόηση, αλλά επειδή ο νους μας έχει εξελιχθεί μέσα σε ένα φυσικό περιβάλλον, κατασκευάζει έννοιες που αντανακλούν τις δομές του φυσικού κόσμου. Έτσι, τα Μαθηματικά «δουλεύουν» γιατί έχουν διαμορφωθεί μέσα από εμπειρίες που σχετίζονται με τη φύση.
3. Επιλογή επιτυχημένων περιπτώσεων (selection bias)
Ίσως υπερεκτιμούμε την αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών γιατί θυμόμαστε μόνο τις επιτυχίες (π.χ., η μηχανική, η κβαντομηχανική, η θεωρία της σχετικότητας) και όχι τις πολλές περιπτώσεις όπου τα Μαθηματικά δεν βοήθησαν (ή ακόμα δεν έχουν βοηθήσει).
4. Εξαιρετική αφαιρετικότητα και γενικότητα
Τα Μαθηματικά βασίζονται σε αφηρημένες έννοιες (όπως σύνολα, συναρτήσεις, συμμετρίες) που μπορούν να εφαρμοστούν σε πολλές καταστάσεις. Αυτή η γενικότητα τούς δίνει τη δύναμη να περιγράφουν φαινόμενα πολύ διαφορετικά μεταξύ τους με τα ίδια εργαλεία.
5. Τα Μαθηματικά βοηθούν στη διατύπωση υποθέσεων
Ακόμα και αν ένα μοντέλο είναι μόνο κατά προσέγγιση σωστό, τα Μαθηματικά μας δίνουν έναν μηχανισμό για να κάνουμε προβλέψεις και να ελέγξουμε υποθέσεις – δηλαδή, είναι ένα εργαλείο σκέψης, όχι μόνο περιγραφής.
Σκέψη του Wigner:
Ο ίδιος ο Wigner παραδέχεται πως δεν έχει τελική απάντηση. Το κείμενό του κλείνει με μια φιλοσοφική παρατήρηση:
«Το θαύμα της αποτελεσματικότητας των μαθηματικών στην περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας είναι ένα δώρο που ούτε το καταλαβαίνουμε, ούτε το αξίζουμε.»
Wigner
Μία σειρά με τις βασικές προσεγγίσεις που προσπαθούν να εξηγήσουν την “απίστευτη αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών”:
✅ 1. Ρεαλιστική (Πλατωνική) προσέγγιση
Τα Μαθηματικά είναι ανακαλύψεις, όχι επινοήσεις. Υπάρχουν ανεξάρτητα από τον ανθρώπινο νου και αποκαλύπτουν θεμελιώδεις δομές του σύμπαντος.
???? Εκπρόσωποι: Πλάτων, Roger Penrose
✅ 2. Εμπειριστική / Εξελικτική προσέγγιση
Ο ανθρώπινος νους και τα Μαθηματικά του έχουν διαμορφωθεί εξελικτικά μέσα στο φυσικό περιβάλλον, άρα αντανακλούν καλά τη φυσική τάξη.
???? Εκπρόσωποι: Φιλοσοφία της επιστήμης, σύγχρονη γνωσιακή επιστήμη
✅ 3. Κατασκευαστική / Φορμαλιστική προσέγγιση
Τα Μαθηματικά είναι ανθρώπινη επινόηση, ένα αυστηρό σύστημα κανόνων και συμβόλων. Δεν εξηγείται πλήρως η αποτελεσματικότητά τους – είναι εν μέρει «θαύμα».
???? Εκπρόσωποι: David Hilbert (φορμαλισμός), Eugene Wigner (έθεσε το πρόβλημα)
✅ 4. Επιλογή επιτυχημένων περιπτώσεων (Selection Bias)
Βλέπουμε μόνο τα παραδείγματα όπου τα Μαθηματικά πέτυχαν και αγνοούμε τις αποτυχίες ή τα προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν μαθηματικά.
???? Εκπρόσωποι: Ian Hacking, Nassim Taleb (με σχετική κριτική σκέψη)
✅ 5. Λειτουργική / Εργαλειακή προσέγγιση
Τα Μαθηματικά είναι ένα εργαλείο που βοηθά να περιγράψουμε, να μοντελοποιήσουμε και να προβλέψουμε τον κόσμο. Δεν είναι «αλήθεια» με την απόλυτη έννοια, αλλά χρήσιμα.
???? Εκπρόσωποι: Karl Popper (επιστημολογικά), επιστημονικός πραγματισμός
✅ 6. Οντολογική προσέγγιση τύπου Max Tegmark (Mathematical Universe Hypothesis)
Όχι απλώς ο κόσμος περιγράφεται από μαθηματικά, αλλά είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο. Δηλαδή, η πραγματικότητα είναι Μαθηματικά.
???? Εκπρόσωποι: Max Tegmark
Βιβλιογραφία
???? Κλασικά και Θεμελιώδη Κείμενα
- Eugene Wigner,
The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, 1960.
???? Το εμβληματικό άρθρο που θέτει το πρόβλημα.
???? [Διαθέσιμο online σε PDF από πολλές πηγές] - Roger Penrose,
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004.
???? Συνδυάζει φυσική και φιλοσοφία των μαθηματικών.
???? Υποστηρίζει πλατωνική άποψη. - Imre Lakatos,
Proofs and Refutations, 1976.
???? Διερευνά πώς προχωρά η μαθηματική γνώση. Ιστορική-διαλεκτική προσέγγιση. - Mark Steiner,
The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem, 1998.
???? Φιλοσοφική ανάλυση της «απρόσμενης επιτυχίας» των Μαθηματικών.
???? Πολύ αναλυτικό, με πολλά παραδείγματα.
???? Σύγχρονες Φιλοσοφικές και Επιστημονικές Προσεγγίσεις
- Max Tegmark,
Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, 2014.
???? Υποστηρίζει ότι το σύμπαν είναι καθαρά μαθηματικό αντικείμενο. - Mario Livio,
Is God a Mathematician?, 2009.
???? Προσβάσιμο βιβλίο που εξετάζει τη σχέση μαθηματικών και πραγματικότητας. - Ian Hacking,
Why Is There Philosophy of Mathematics at All?, 2014.
???? Κριτική στις πλατωνικές και ρεαλιστικές απόψεις. - George Lakoff & Rafael Núñez,
Where Mathematics Comes From, 2000.
???? Τα Μαθηματικά ως προϊόν της γνωσιακής λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου.
???? Αντιτίθενται στον Πλατωνισμό.
???? Ελληνική Βιβλιογραφία (όπου διαθέσιμη)
- Χρήστος Δεληγιάννης,
Φιλοσοφία των Μαθηματικών, εκδ. Ζήτη.
???? Αναλύει διάφορες φιλοσοφικές σχολές: Πλατωνισμός, φορμαλισμός, κλπ. - Αναστάσιος Στάμου,
Η φιλοσοφία των Μαθηματικών, εκδ. Gutenberg.
???? Εισαγωγή στις κυριότερες θεωρίες για τη φύση των μαθηματικών.
???? Κλασικά και Θεμελιώδη Κείμενα
- Eugene Wigner,
The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, 1960.
???? Το εμβληματικό άρθρο που θέτει το πρόβλημα.
???? [Διαθέσιμο online σε PDF από πολλές πηγές] - Roger Penrose,
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004.
???? Συνδυάζει φυσική και φιλοσοφία των μαθηματικών.
???? Υποστηρίζει πλατωνική άποψη. - Imre Lakatos,
Proofs and Refutations, 1976.
???? Διερευνά πώς προχωρά η μαθηματική γνώση. Ιστορική-διαλεκτική προσέγγιση.
Το κείμενο αυτό είναι πραγματικά μοναδικό! Είναι ένα θρίλερ με ανατροπές μέσα στην ανακάλυψη και γη διδασκαλία των Μαθηματικών, το οποίο είχε μελετηθεί εκτενώς στο Εργαστήριο Άλγεβρας της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης. - Mark Steiner,
The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem, 1998.
???? Φιλοσοφική ανάλυση της «απρόσμενης επιτυχίας» των Μαθηματικών.
???? Πολύ αναλυτικό, με πολλά παραδείγματα.
???? Σύγχρονες Φιλοσοφικές και Επιστημονικές Προσεγγίσεις
- Max Tegmark,
Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, 2014.
???? Υποστηρίζει ότι το σύμπαν είναι καθαρά μαθηματικό αντικείμενο. - Mario Livio,
Is God a Mathematician?, 2009.
???? Προσβάσιμο βιβλίο που εξετάζει τη σχέση μαθηματικών και πραγματικότητας. - Ian Hacking,
Why Is There Philosophy of Mathematics at All?, 2014.
???? Κριτική στις πλατωνικές και ρεαλιστικές απόψεις. - George Lakoff & Rafael Núñez,
Where Mathematics Comes From, 2000.
???? Τα Μαθηματικά ως προϊόν της γνωσιακής λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου.
???? Αντιτίθενται στον Πλατωνισμό.
???? Ελληνική Βιβλιογραφία (όπου διαθέσιμη)
- Χρήστος Δεληγιάννης,
Φιλοσοφία των Μαθηματικών, εκδ. Ζήτη.
???? Αναλύει διάφορες φιλοσοφικές σχολές: Πλατωνισμός, φορμαλισμός, κλπ. - Αναστάσιος Στάμου,
Η φιλοσοφία των Μαθηματικών, εκδ. Gutenberg.
???? Εισαγωγή στις κυριότερες θεωρίες για τη φύση των μαθηματικών.