shasapis – Σελίδα 49 – Συλλέκτης Σωτήρη Χασάπη

(146) Σύνθεση συναρτήσεων => Ισότητα συναρτήσεων – mathematica.gr

Έστω οι συναρτήσεις $$f, g, h$$ με κοινό πεδίο ορισμού το $$\mathbb{R}$$.

Αν ισχύει $$g\circ f =h\circ f$$ και επιπλέον η $$f$$ έχει για σύνολο τιμών το $$\mathbb{R}$$ να αποδείξετε ότι:

$$g=h$$.

Παίρνουμε τυχόν $$x$$ για το οποίο υπάρχει $$y$$ με $$f(y)=x$$ και τότε $$g(x)=g(f(y))=h(f(y))=h(x)$$.

Να επισημάνω εδώ, κάτι που συχνά μπερδεύει και ξεχνιέται από τους μαθητές μας γιατί είναι ιδιαίτερα σημαντικό να δίνεται ότι το σύνολο τιμών της $$f: f(D_f ) = \mathbb{R}$$, διότι μέσω αυτού οι δύο συναρτήσεις $$h,g$$ λαμβάνουν όλες τις τιμές του πεδίου ορισμού τους που ειναι το $$\mathbb{R}$$ και έτσι εξασφαλίζεται η ισότητά τους.

Πηγή: (146) Σύνθεση συναρτήσεων => Ισότητα συναρτήσεων – mathematica.gr

wacom one pen tablet doesn’t work in ubuntu 16.04 version drivers – My WACOM One device is not working – Ask Ubuntu | Επιλογές Ubuntu – Ubuntu Applications

Πηγή: wacom one pen tablet doesn’t work in ubuntu 16.04 version drivers – My WACOM One device is not working – Ask Ubuntu | Επιλογές Ubuntu – Ubuntu Applications

Πρακτικά: Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών

Πηγή: Διδασκαλία – Προγράμματα Σπουδών Μαθηματικών: Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών

Openeclass Μαθηματικά σύμβολα

Πηγή: Τεχνολογικά- Προγραμματιστικά Νέα Τώρα – Tech News Now Gr

To toggle to the math mode, you must use the <m>…</m> tag. Apart from this tag, any html code can be used.
The math commands must be separated by a space character or surrounded by {}.
Examples :

<m>S(f)(t)=a_{0}+sum{n=1}{+infty}{a_{n} cos(n omega t)+b_{n} sin(n omega t)}</m>
<m>delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{3x-5y+z=0} {sqrt{2}x-7y+8z=0} {x-8y+9z=0}}}{ }</m>
<m>delim{|}{{1/N} sum{n=1}{N}{gamma(u_n)} – 1/{2 pi} int{0}{2 pi}{gamma(t) dt}}{|} <= epsilon/3</m>

List of commands

Usual commands
x+y : x+y
x-y : x-y
x*y : x*y
x/y : x/y
x^y : x^y
x_y : x_y
x<>y : x<>y
x>y : x>y
x>=y : x>=y
x<y : x<y
x<=y : x<=y
Parenthesis
visible : (x)
invisible : {x}
Math space
a~b : a~b
Greek letters
alpha : alpha
beta : beta
gamma : gamma
delta : delta
epsilon : epsilon
varepsilon :
zeta : zeta
eta : eta
theta : theta
vartheta :
iota : iota
kappa : kappa
lambda : lambda
mu :
nu :
xi :
pi :
varpi : varpi
rho : rho
varrho : varrho
sigma : sigma
varsigma :
tau : tau
upsilon : upsilon
phi : phi
varphi : varphi
chi : chi
psi : psi
omega : omega
Gamma : Gamma
Lambda : Lambda
Sigma : Sigma
Psi : Psi
Delta : Delta
Xi :
Upsilon : Upsilon
Omega : Omega
Theta : Theta
Pi :
Phi : Phi
Symbols
infty : infty
in :
notin : notin
forall : forall
exists : exists
notexists :
partial : partial
approx : approx
pm :
inter : inter
union : union
ortho : ortho
parallel :
backslash :
prime : prime
wedge : wedge
vert : vert
lbrace : {
rbrace : }
circ : circ
varnothing :
subset : subset
notsubset :
cdots : cdots
vdots : vdots
ddots : ddots

Arrows :
left : left
right : right
leftright :
doubleleft :
doubleright :
doubleleftright :
nearrow : nearrow
searrow : searrow
Sets
bbR : bbR
bbN : bbN
bbZ : bbZ
bbC : bbC
Roots
sqrt{a} : sqrt{a}
root{n}{a} :
Limits
lim{a}{x} :
Big operators
int{a}{b}{x} :
doubleint{a}{b}{x} :
tripleint{a}{b}{x} :
oint{a}{b}{x} :
sum{a}{b}{x} :
prod{a}{b}{x} :
bigcup{a}{b}{x} :
bigcap{a}{b}{x} :
Delimiters
delim{[}{x}{]} :
delim{]}{x}{]} :
delim{[}{x}{[} :
delim{]}{x}{[} :
delim{lbrace}{x}{rbrace} :
delim{|}{x}{|} :
delim{vert}{x}{vert} :
Matrix
matrix{num of lines}{num of columns}{first_element … last_element}
Example :
matrix{2}{3}{a b c d e f g} :

Tabular
tabular{lines description}{columns description}{first_element … last_element}
lines description : sequence of 1 (draw the horizontal line) or 0 (don’t draw the horizontal line) – the length of the sequence=num of lines+1
columns description : sequence of 1 (draw the vertical line) or 0 (don’t draw the vertical line) – the length of the sequence=num of columns+1
Examples :
tabular{111}{1111}{a b c d e f g} :