Κατηγορία: Ιδιωτικό

Πηγή: idrysi_sholeion_epistimon_protasi_gia_ton_ethniko_dialogo-1.pdf

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=27&t=69043&fbclid=IwAR2mp_qmhIRqagKe7JOcNT_0G639jGd_7TCqXrisfX3NC7LBsCf12IidHUU#p335779

Έστω $a, b, c$ οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-x-1=0$.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$

Θέτουμε $t= \dfrac {1-x}{1+x}\,()$ , όπου $x$ ρίζα της δοθείσας τριτοβάθμιας. Λύνοντας την $()$ ως προς $x$ θα βρούμε $x= \dfrac {1-t}{1+t}$, οπότε θέτοντας στην τριτοβάθμια ισχύει

$\displaystyle{\left ( \dfrac {1-t}{1+t}\right )^3- \dfrac {1+t}{1-t} -1 =0}$

Πολλαπλασιάζοντας επί \((1-t)^3\) θα βρούμε μετά τις πράξεις $t^3-t^2+7t+1=0$. Από Vieta το άθροισμα των ριζών της τελευατίας είναι $1$. Αλλά από την $(*)$ οι ρίζες της τελευταίας είναι οι $\displaystyle{ \dfrac {1-a}{1+a}, \, \dfrac {1-b}{1+b},\, \dfrac {1-c}{1+c}}$. Συνεπώς

$\displaystyle{ \dfrac {1-a}{1+a}+ \dfrac {1-b}{1+b}+ \dfrac {1-c}{1+c}=1}$

Euler’s conjecture, a theory proposed by Leonhard Euler in 1769, hung in there for 200 years. Then L.J. Lander and T.R. Parkin came along in 1966, and debunked the conjecture in two swift sentences. Their article — which is now open access and can be downloaded here — appeared in the Bulletin of the American Mathematical Society. If you’re wondering what the conjecture and its refutation are all about, you might want to ask Cliff Pickover, the author of 45 books on math and science. He brought this curious document to the web last week.

Πηγή: The Shortest-Known Paper Published in a Serious Math Journal: Two Succinct Sentences | Open Culture

https://www.geogebra.org/classic/tppa7jje

Ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης του εφαπτόμενου διανύσματος δίνει την καμπυλότητα της καμπύλης, όταν η παραμέτρησή της είναι σε μήκος τόξου.

Με το κριτήριο ν-οστής παραγώγου ή γενικευμένο κριτήριο παραγώγου μπορεί να καθοριστεί πότε τα κρίσιμα σημεία μίας συνάρτησης είναι μέγιστα, ελάχιστα ή σημεία καμπής για μία μεγάλη ομάδα συναρτήσεων
Έστω \(f\) μία πραγματική συνάρτηση σε ένα διάστημα \(c\in I = (a,b)\subset \mathbb{R}\) και \(n\geq 1\) φυσικός αριθμός.

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν όλες οι παράγωγοι της συνάρτησης \(f\) και είναι μηδέν \( f^{n}(c) =0\) ενώ η \(n+1\) παράγωγος δεν είναι μηδέν.

$$ f'(c) = \cdots =f^{(n)}(c) = 0\quad \text{and}\quad f^{(n+1)}(c) \ne 0$$

Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις για το \( c\in I\).

Αν \(n\) περιττός και \( f^{(n+1)}(c) < 0\) ,τότε \( c \) σημείο τοπικού μεγίστου.

Αν \(n\) άρτιος και \( f^{(n+1)}(c) < , > 0\) ,τότε \( c \) σημείο καμπής.

Αν (n) περιττός και \( f^{(n+1)}(c) > 0\) ,τότε \( c \) σημείο τοπικού ελαχίστου.

http://www2.biology.uoc.gr/courses/BIO3_Biomathimatika/lectures/Derivatives.pdf

Ερώτημα: Η αντικατάσταση των αυτοκινήτων από ηλεκτρικά θα συμβάλει στη μείωση του

Πάντως η ΤΟΥΟΤΑ, μέσω του προέδρου της , διερωτήθηκε(*) σημαντικά κατά πόσο συμφέρον για το περιβάλλον είναι η ηλεκτρική τεχνολογία, δοθέντων αφενός των αναγκαίων πόρων για την κατασκευή των μπαταριών από τα υλικά τους και της δύσκολης ανακύκλωσης – απόρριψης των υλικών τους μετά το τέλος της διάρκειας ζωής τους. Έχω τα ίδια ερωτήματα για ΟΛΑ όσα πλασσάρονται ως βιολογικά, οικολογικά, μικρού αποτυπώματος κλπ όπως πχ οι λαμπτήρες led που αντικατέστησαν τους απλούς λαμπτήρες πυρακτώσεως και από την εμπειρία μου ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ μεγαλύτερη ζωή από αυτούς (το αντίθετο θα έλεγα). Να επισημάνω επίσης ότι πουθενά δεν έχω δει μία αντίστοιχη μελέτη για αυτά τα αντικείμενα και το +- στη συνεισφορά τους στο περιβάλλον. Επίσης να επισημάνω ότι τις λάμπες τις έφτιαχναν, τις πυρακτώσεως, και μικρές Ελληνικές βιοτεχνίες, ενώ τις LED μονο πολυεθνικές και Κινέζικες, τουλάχιστον στην αρχή…Βέβαια το γεγονός ότι εγώ δεν έχω δει τετοιες μελέτες δεν αναιρεί ότι μπορεί να υπάρχουν. Απλά το θέτω προς προβληματισμό!

(*) O πρόεδρος της εταιρείας τίθεται ενάντια στη βίαιη μετάβαση στην ηλεκτροκίνηση και κρούει τον κώδωνα του κινδύνου για ορισμένες μεθόδους παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας.

και εδώ…

Απασφάλισε το αφεντικό της Toyota: “Όσο περισσότερα ηλεκτρικά φτιάχνουμε, χειροτερεύουν τα επίπεδα διοξειδίου του άνθρακα”