Κατηγορία: Ιδιωτικό

Ο Δρ Ovide, παιδίατρος νευρολόγος, προειδοποιεί:Υπάρχει μια σιωπηλή τραγωδία που εκτυλίσσεται στα σπίτια μας σήμερα και περιλαμβάνει τα πιο όμορφα κοσμήματά μας: τα παιδιά μας. Τα παιδιά μας βρίσκονται σε καταστροφική συναισθηματική κατάσταση! Τα τελευταία 15 χρόνια, οι ερευνητές μας δίνουν όλο και πιο ανησυχητικά στατιστικά στοιχεία σχετικά με μια οξεία και σταθερή αύξηση της παιδικής ψυχικής ασθένειας που τώρα φτάνει σε διαστάσεις επιδημίας:Τα στατιστικά δεν λένε ψέματα:• 1 στα 5 παιδιά έχουν προβλήματα ψυχικής υγείας• Έχει παρατηρηθεί αύξηση 43% στη ΔΕΠΥ• Παρατηρήθηκε αύξηση 37% στην εφηβική κατάθλιψη• Έχει παρατηρηθεί αύξηση 200% στο ποσοστό αυτοκτονιών μεταξύ παιδιών ηλικίας 10 έως 14 ετών.Τι συμβαίνει και τι έχουμε πάθει;Τα σημερινά παιδιά είναι υπερδιεγερμένα και υπερ-προικισμένα με υλικά πράγματα, αλλά στερούνται τα θεμέλια μιας υγιούς παιδικής ηλικίας όπως:• Συναισθηματικά διαθέσιμοι γονείς• σαφώς καθορισμένα όρια• Ευθύνες• Ισορροπημένη διατροφή και επαρκής ύπνος• Κίνηση γενικά αλλά ειδικά σε εξωτερικούς χώρους• Δημιουργικό παιχνίδι, κοινωνική αλληλεπίδραση, ανεπίσημες ευκαιρίες παιχνιδιού και χώροι πλήξηςΑντίθετα, τα τελευταία χρόνια γέμισαν με παιδιά:• Ψηφιακά Αποσπασμένοι Γονείς• επιεικείς, επιτρεπτικοί γονείς που αφήνουν τα παιδιά να «διοικούν τον κόσμο» και να είναι αυτοί που φτιάχνουν τους κανόνες• Αίσθηση δικαιώματος, να αξίζεις τα πάντα χωρίς να τα κερδίζεις ή να είσαι υπεύθυνος γι’ αυτά• Ακατάλληλος ύπνος και ανισορροπημένη διατροφή• Ένας καθιστικός τρόπος ζωής• Ατελείωτη διέγερση, τεχνολογικές νταντάδες, άμεση ικανοποίηση και καθόλου βαρετές στιγμέςΤι να κάνω;Αν θέλουμε τα παιδιά μας να είναι ευτυχισμένα, υγιή άτομα πρέπει να ξυπνήσουμε και να επιστρέψουμε στα βασικά. Είναι ακόμα καιρός! Πολλές οικογένειες βλέπουν άμεσες βελτιώσεις μετά από εβδομάδες εφαρμογής των ακόλουθων συστάσεων:• Βάλε όρια και θυμήσου ότι εσύ είσαι ο καπετάνιος του πλοίου. Τα παιδιά σας θα αισθάνονται πιο ασφαλή γνωρίζοντας ότι έχετε τον έλεγχο της κυβέρνησης.• Προσφέρετε στα παιδιά έναν ισορροπημένο τρόπο ζωής γεμάτο με ό,τι χρειάζονται τα παιδιά, όχι μόνο ό,τι θέλουν. Μην φοβάστε να πείτε “όχι” στα παιδιά σας αν αυτό που θέλουν δεν είναι αυτό που χρειάζονται.• Παρέχετε θρεπτική τροφή και περιορίστε το junk food.• Περάστε τουλάχιστον μία ώρα την ημέρα σε εξωτερικούς χώρους κάνοντας δραστηριότητες όπως: Ποδηλασία, πεζοπορία, ψάρεμα, παρακολούθηση πουλιών/εντόμων• Απολαύστε ένα καθημερινό οικογενειακό δείπνο χωρίς smartphones ή τεχνολογία να τους αποσπά την προσοχή.• Παίξτε επιτραπέζια παιχνίδια σαν οικογένεια ή αν τα παιδιά είναι πολύ μικρά για επιτραπέζια, παρασυρθείτε από τα ενδιαφέροντά σας και αφήστε τα να στείλουν στο παιχνίδι• Συμμετέχετε τα παιδιά σας σε μια εργασία ή μια εργασία νοικοκυριού ανάλογα με την ηλικία τους (δίπλωση ρούχων, παραγγελία παιχνιδιών, κρέμασμα ρούχων, ξεπακετάρισμα φαγητού, στρώσιμο τραπεζιού, τάισμα του σκύλου κλπ. Σε όλο τον κόσμο• Εφαρμόστε μια συνεπή ρουτίνα ύπνου για να διασφαλίσετε ότι το παιδί σας κοιμάται Τα προγράμματα θα είναι ακόμη πιο σημαντικά για τα παιδιά σχολικής ηλικίας.• Διδασκαλία υπευθυνότητας και ανεξαρτησίας. Μην τους υπερπροστατεύετε από οποιαδήποτε απογοήτευση ή λάθος. Κάνοντας λάθος θα τους βοηθήσει να χτίσουν ανθεκτικότητα και να μάθουν να ξεπερνούν τις προκλήσεις της ζωής,• Μην φορτώνετε το σακίδιο των παιδιών σας, μην κουβαλάτε τα σακίδια σας, μην τους παίρνετε το έργο που ξέχασαν, μην ξεφλουδίζετε τις μπανάνες τους ή ξεφλουδίζουν τα πορτοκάλια τους αν μπορούν να το κάνουν μόνοι τους (4-5 ετών). Αντί να τους δίνετε το ψάρι, δείξτε τους πώς να ψαρεύουν.• Διδάξτε τους να περιμένουν και να καθυστερούν την ικανοποίηση.• Δώστε ευκαιρίες για «βαρεμάρα», γιατί η πλήξη είναι η στιγμή που ξυπνά η δημιουργικότητα. Μην αισθάνεστε υπεύθυνοι που διασκεδάζετε πάντα τα παιδιά.• Μην χρησιμοποιείτε την τεχνολογία ως θεραπεία για την πλήξη, ούτε να την προσφέρετε με το πρώτο δευτερόλεπτο της αδράνειας.• Αποφυγή χρήσης τεχνολογίας σε γεύματα, αυτοκίνητα, εστιατόρια, εμπορικά κέντρα. Χρησιμοποιήστε αυτές τις στιγμές ως ευκαιρίες κοινωνικοποίησης εκπαιδεύοντας έτσι τους εγκεφάλους να λειτουργούν όταν βρίσκονται σε κατάσταση “βαρεμάρας”.• Βοηθήστε τους να δημιουργήσουν ένα “Boredom Bottle” με ιδέες δραστηριότητας για όταν βαριούνται.• Να είστε συναισθηματικά διαθέσιμοι για να συνδεθείτε με τα παιδιά και να τους διδάξετε αυτορρύθμιση και κοινωνικές δεξιότητες• Κλείστε τα τηλέφωνα το βράδυ όταν τα παιδιά πρέπει να πάνε για ύπνο για να αποφύγετε την ψηφιακή απόσπαση της προσοχής.• Γίνετε συναισθηματικός ρυθμιστής ή προπονητής για τα παιδιά σας. Διδάξτε τους πώς να αναγνωρίζουν και να διαχειρίζονται τα δικά τους απωθημένα και θυμό.• Δείξτε τους να χαιρετούν, να παίρνουν σειρά, να μοιράζονται χωρίς τίποτα, να λένε ευχαριστώ και παρακαλώ, να αναγνωρίζουν το λάθος και να ζητούν συγγνώμη (μην τους πιέζετε), να είναι υπόδειγμα για όλες αυτές τις αξίες που ενσταλάζει.• Συνδεθείτε συναισθηματικά – χαμογελάστε, αγκαλιάστε, φιληθείτε, γαργαληθείτε, διαβάστε, χορέψτε, πηδήξτε, παίξτε ή αγκαλιαστείτεΆρθρο γραμμένο από τον Δρ Luis Rojas Marcos

https://www.facebook.com/hkseres.oti.auto.to.hkseres/photos/a.3869165649788456/4784041614967517/

Οι περισσότεροι από μας (αναφέρεται στους δασκάλους των μαθηματικών) συνεχίζουν
να διδάσκουν ορισμένα μέρη των στοιχειωδών μαθηματικών με έναν τρόπο που
αποθαρρύνει τους μαθητές,δίνοντας τους την εντύπωση ότι η αριστεία στην μαθηματική
επιστήμη αποτελεί ζήτημα μιας μεθοδολογίας τεχνασμάτων,ακόμα και
ταχυδακτυλουργίας.Αντίθετα,ο μαθηματικός μοιάζει με τον ξυλοκόπο.Είμαστε μέσα σε
ένα δάσος.Τα δέντρα του δεν θα πέσουν με μερικά δειλά χτυπήματα του τσεκουριού.Θα
πρέπει να σηκώσουμε το διπλό τσεκούρι και το πριόνι,και να ελπίσουμε ότι οι μύες μας
είναι άξιοι για αυτά.»
Michael Harris,«Μαθηματικά χωρίς απολογίες»

Από τον πρόλογο του:

Η ανισότητα Αριθμητικού – Γεωμετρικού μέσου

Ο Αριθμητικός μέσος δύο ή περισσοτέρων αριθμών είναι το άθροισμά τους προς το πλήθος τους: \( \frac{a+b}{2} , \frac{a+b+c}{3},\ldots , \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\)

ενώ ο γεωμετρικός μέσος αφορά στο γινόμενό τους: \( \sqrt{ab}, \sqrt[3]{a\cdot b \cdot c}, \ldots , \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}\)

όσο είναι το πλήθος των αριθμών είναι και η τάξη της ρίζας και προφανώς θα ορίζεται για μη αρνητικούς αριθμούς.

Συνδέονται μεταξύ τους με την ανισότητα: \(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\)

και γενικεύοντας για n το πλήθος όρους έχουμε: \(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 +\cdots + a_n}{n}\)

Απόδειξη για δύο όρους

Έχουμε ήδη δει απόδειξη για δύο όρους στα προηγούμενα, η οποία ανάγεται στη βασική ιδιότητα των πραγματικών αριθμών \(a^2 \geq 0 \) .

Συγκεκριμένα για κάθε \( a,b \geq 0\) έχουμε διαδοχικά: \(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \Leftrightarrow 2 \sqrt{ab} \leq a+b \Leftrightarrow 4ab \leq a^2 + b^2 + 2ab \Leftrightarrow a^2 + b^2 – 2ab \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0\)

Αποδεικνύοντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz

Θα προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε την ανισότητα Αριθμητικού – Γεωμετρικού μέσου για την απόδειξη.

Όπως σε όλες τις αποδείξεις ανισοτήτων με χρήση άλλων γνωστών ανισοτήτων η δύσκολη διεργασία είναι να βρεθεί πώς θα εφαρμοστεί αυτή. Γι’ αυτό το λόγο προσπαθούμε να συγκρίνουμε τις δύο ανισότητες για λίγους όρους αρχικά και έπειτα να κάνουμε γενική εφαρμογή.

Θέτουμε \(A = \sqrt{a_1 ^2 + a_2 ^2}, B = \sqrt{b_1 ^2 + b_2 ^2 }\) και έχουμε τη ζητούμενη να γράφεται διαδοχικά: \( (a_1 b_1 + a_2 b_2 )^2 \leq (a_1 ^2 + a_2 ^2) \cdot (b_1 ^2 + b_2 ^2 ) \Leftrightarrow (a_1 b_1 + a_2 b_2 ) \leq \sqrt{(a_1 ^2 + a_2 ^2)} \cdot \sqrt{(b_1 ^2 + b_2 ^2 )} \Leftrightarrow (a_1 b_1 + a_2 b_2 ) \leq A \cdot B \)

Όμως \(a_1 b_1 = \sqrt{a_1 ^2 \cdot b_1 ^2 }\)

και απο ανισότητα Αριθμητικού – Γεωμετρικού μέσου έχουμε: \(a_1 b_1 = \sqrt{a_1 ^2 \cdot b_1 ^2 } \leq \frac{a_1 ^2 + b_1 ^2}{2}\)

και \( a_2 b_2 = \sqrt{a_2 ^2 \cdot b_2 ^2 } \leq \frac{a_2 ^2 + b_2 ^2}{2}\)
οπότε: \( \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{A \cdot B} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{a_1 ^2 }{A^2} + \frac{b_1 ^2 }{B^2}\right) +\frac{1}{2} \left( \frac{a_2 ^2 }{A^2} + \frac{b_2 ^2 }{B^2}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{a_1 ^2 + a_2 ^2}{A^2} + \frac{b_1 ^2 + b_2 ^2}{B^2} \right) = \frac{1}{2}(1+1) = 1 \Leftrightarrow \)

δηλαδή: \( \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{A\cdot B} \leq 1 \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 \leq A\cdot B = \sqrt{a_1 ^2 + a_2 ^2}\sqrt{b_1 ^2 + b_2 ^2}\)

Η οποία είναι η ζητούμενη.
Η απόδειξη για n όρους μπορεί να γίνει εύκολα με μία τροποποίηση, θέτοντας \(A = \sqrt{a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots a_n ^2},\ B = \sqrt{b_1 ^2 + b_2 ^2 + \cdots + b_n ^2}\)

Αναφορές

*Lohwater, Arthur (1982), ”Introduction to Inequalities”, Online e-book in PDF fomat.
*Wu H.H., Wu S., Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality, [εδώ].