Συλλέκτης Σωτήρη Χασάπη

Κατεβάστε όλα τα θέματα και τις λύσεις από εδώ.

Θέματα μικρών

Πρόβλημα 1.

Να εξετάσετε αν υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε οι αριθμοί $x+\sqrt{3}$ και $x^2+\sqrt{3}$ να είναι και οι δύο ρητοί.
Να εξετάσετε αν υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε οι αριθμοί $y+\sqrt{3}$ και $y^3+\sqrt{3}$ να είναι και οι δύο ρητοί.

Πρόβλημα 2.
Θεωρούμε τετράγωνο ${\rm{AB}}\Gamma\Delta$ πλευράς $8\,cm$ , το οποίο υποδιαιρούμε με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του σε μικρά τετράγωνα πλευράς $1\,cm$ . Χρωματίζουμε μικρά τετράγωνα μαύρα, ενώ όλα τα υπόλοιπα τετράγωνα είναι λευκά. Υποθέτουμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος , τέτοιος ώστε, ανεξάρτητα από την θέση των μαύρων μικρών τετραγώνων, υπάρχει ορθογώνιο εμβαδού $k\,cm^2$ με πλευρές παράλληλες στις πλευρές του ${\rm{AB}}\Gamma\Delta$ και με όλα τα μικρά τετράγωνα από τα οποία αποτελείται να είναι λευκά, που μπορεί να αποκοπεί από το τετράγωνο ${\rm{AB}}\Gamma\Delta$ . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του .

Πρόβλημα 3.
Θεωρούμε τους θετικούς ακεραίους a,b έτσι ώστε ο αριθμός , όπου $\displaystyle K=\frac{(a+b)^2+4a}{ab}\,,$ να είναι ακέραιος. Να αποδείξετε ότι, αν ο είναι περιττός, τότε ο είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρόβλημα 4.
Δίνεται τρίγωνο ${\rm{AB}}\Gamma$ με ${\rm{AB}}<{\rm{A}}\Gamma<{\rm{B}}\Gamma$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $\rm{O}$ και ακτίνα . Ονομάζουμε $\Delta$ το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής $\rm{A}$ . Θεωρούμε επίσης τον κύκλο c_1 , του οποίου το κέντρο $\rm{K}$ βρίσκεται επάνω στο τμήμα ${\rm{B}}\Delta$ και περνάει από τα σημεία $\rm{B}$ και $\Gamma$ . Αν ο κύκλος c_1 τέμνει την ${\rm{A}}\Gamma$ στο σημείο $\rm{E}$ , να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\rm{BKE}$ , έστω c_2 , εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ${\rm{AB}}\Gamma$ .

——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–

Θέματα μεγάλων

Πρόβλημα 1.
Θεωρούμε την ακολουθία $(x_n),\; n\in\mathbb{N}^{*}\,,$ που ορίζεται αναδρομικά από την σχέση $\displaystyle x_{n+1}=3\,x_n^3+x_n\,,$ με $x_1=\dfrac{a}{b}$ , όπου a,b είναι θετικοί ακέραιοι και ο δεν διαιρεί τον ακέραιο . Αν για κάποιο θετικό ακέραιο ο x_m είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού, να αποδείξετε ότι και ο x_1 είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού.

Πρόβλημα 2.
Δίνονται οξυγώνιο τρίγωνο ${\rm{AB}}\Gamma$ με ${\rm{AB}}<{\rm{A}}\Gamma<{\rm{B}}\Gamma$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του με κέντρο $\rm{O}$ και ακτίνα . Στα μικρά τόξα ${\rm{A}}\Gamma$ και ${\rm{AB}}$ θεωρούμε τα σημεία $\Delta$ και $\rm{E}$ αντίστοιχα. Έστω $\rm{K}$ είναι το σημείο τομής των ${\rm{B}}\Delta,\; \Gamma{\rm{E}}$ και $\rm{N}$ είναι το δεύτερο κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ${\rm{BKE}}$ , έστω c_1 , και $\Gamma{\rm{K}}\Delta$ , έστω c_2 . Να αποδείξετε ότι : τα σημεία ${\rm{A}}$ , ${\rm{K}}$ , ${\rm{N}}$ είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν, το σημείο ${\rm{K}}$ ανήκει στην συμμετροδιάμεσο του τριγώνου ${\rm{AB}}\Gamma$ , που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\rm{A}}$ .

Σημείωση: Συμμετροδιάμεσος τριγώνου είναι η συμμετρική ευθεία της διαμέσου, ως προς την διχοτόμο, που περνάει από την ίδια κορυφή με την διάμεσο.

Πρόβλημα 3.

Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί $n,\,m$ με και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί $a_1,\,a_2,\ldots, a_m$ . Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού το πολύ , για τα οποία ισχύει η ισότητα $\displaystyle \big|P(a_i)-P(a_j)\big|=|a_i-a_j|$ για κάθε με $1\leqslant{i}<j\leqslant{m}$ .
Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί $m,\,n\geqslant2$ με . Να εξετάσετε αν υπάρχει πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού καθώς και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί $a_1,\,a_2,\ldots, a_m$ , τέτοιοι ώστε $\displaystyle \big|Q(a_i)-Q(a_j)\big|<|a_i-a_j|$ για κάθε με $1\leqslant{i}<j\leqslant{m}$ .

Πρόβλημα 4.
Θεωρούμε σημεία στο επίπεδο, $n\geqslant4$ , ανά τρία μη-συνευθειακά. Ονομάζουμε A(n) το πλήθος των παραλληλογράμμων εμβαδού που σχηματίζονται με κορυφές αυτά τα σημεία. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle A(n)\leqslant\frac{n^2-3n}{4}\,,$ για κάθε $n\geqslant4$ .