Αρχιμήδης 2018 – Θέματα και λύσεις

Κατεβάστε όλα τα θέματα και τις λύσεις από εδώ.

Θέματα μικρών

Πρόβλημα 1.

  1. Να εξετάσετε αν υπάρχει πραγματικός αριθμός x, τέτοιος ώστε οι αριθμοί x+\sqrt{3} και x^2+\sqrt{3} να είναι και οι δύο ρητοί.
  2. Να εξετάσετε αν υπάρχει πραγματικός αριθμός y, τέτοιος ώστε οι αριθμοί y+\sqrt{3} και y^3+\sqrt{3} να είναι και οι δύο ρητοί.

Πρόβλημα 2.
Θεωρούμε τετράγωνο {\rm{AB}}\Gamma\Delta πλευράς 8\,cm, το οποίο υποδιαιρούμε με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του σε 64 μικρά τετράγωνα πλευράς 1\,cm. Χρωματίζουμε 7 μικρά τετράγωνα μαύρα, ενώ όλα τα υπόλοιπα 57 τετράγωνα είναι λευκά. Υποθέτουμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος k, τέτοιος ώστε, ανεξάρτητα από την θέση των 7 μαύρων μικρών τετραγώνων, υπάρχει ορθογώνιο εμβαδού k\,cm^2 με πλευρές παράλληλες στις πλευρές του {\rm{AB}}\Gamma\Delta και με όλα τα μικρά τετράγωνα από τα οποία αποτελείται να είναι λευκά, που μπορεί να αποκοπεί από το τετράγωνο {\rm{AB}}\Gamma\Delta. Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του k.

Πρόβλημα 3.
Θεωρούμε τους θετικούς ακεραίους a,b έτσι ώστε ο αριθμός K, όπου \displaystyle K=\frac{(a+b)^2+4a}{ab}\,, να είναι ακέραιος. Να αποδείξετε ότι, αν ο b είναι περιττός, τότε ο a είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρόβλημα 4.
Δίνεται τρίγωνο {\rm{AB}}\Gamma με {\rm{AB}}<{\rm{A}}\Gamma<{\rm{B}}\Gamma, εγγεγραμμένο σε κύκλο c με κέντρο \rm{O} και ακτίνα R. Ονομάζουμε \Delta το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής \rm{A}. Θεωρούμε επίσης τον κύκλο c_1, του οποίου το κέντρο \rm{K} βρίσκεται επάνω στο τμήμα {\rm{B}}\Delta και περνάει από τα σημεία \rm{B} και \Gamma. Αν ο κύκλος c_1 τέμνει την {\rm{A}}\Gamma στο σημείο \rm{E}, να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \rm{BKE} , έστω c_2, εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου c του τριγώνου {\rm{AB}}\Gamma.

——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–

Θέματα μεγάλων

Πρόβλημα 1.
Θεωρούμε την ακολουθία (x_n),\; n\in\mathbb{N}^{*}\,, που ορίζεται αναδρομικά από την σχέση \displaystyle x_{n+1}=3\,x_n^3+x_n\,, με x_1=\dfrac{a}{b}, όπου a,b είναι θετικοί ακέραιοι και ο 3 δεν διαιρεί τον ακέραιο b. Αν για κάποιο θετικό ακέραιο m ο x_m είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού, να αποδείξετε ότι και ο x_1 είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού.

Πρόβλημα 2.
Δίνονται οξυγώνιο τρίγωνο {\rm{AB}}\Gamma με {\rm{AB}}<{\rm{A}}\Gamma<{\rm{B}}\Gamma και ο περιγεγραμμένος κύκλος του c με κέντρο \rm{O} και ακτίνα R. Στα μικρά τόξα {\rm{A}}\Gamma και {\rm{AB}} θεωρούμε τα σημεία \Delta και \rm{E} αντίστοιχα. Έστω \rm{K} είναι το σημείο τομής των {\rm{B}}\Delta,\; \Gamma{\rm{E}} και \rm{N} είναι το δεύτερο κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων {\rm{BKE}} , έστω c_1, και \Gamma{\rm{K}}\Delta , έστω c_2. Να αποδείξετε ότι : τα σημεία {\rm{A}}, {\rm{K}}, {\rm{N}} είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν, το σημείο {\rm{K}} ανήκει στην συμμετροδιάμεσο του τριγώνου {\rm{AB}}\Gamma, που αντιστοιχεί στην κορυφή {\rm{A}}.

Σημείωση: Συμμετροδιάμεσος τριγώνου είναι η συμμετρική ευθεία της διαμέσου, ως προς την διχοτόμο, που περνάει από την ίδια κορυφή με την διάμεσο.

Πρόβλημα 3.

  1. Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί n,\,m με n<m και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί a_1,\,a_2,\ldots, a_m. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα P με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού το πολύ n, για τα οποία ισχύει η ισότητα \displaystyle \big|P(a_i)-P(a_j)\big|=|a_i-a_j| για κάθε i,j με 1\leqslant{i}<j\leqslant{m}.
  2. Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί m,\,n\geqslant2 με n<m. Να εξετάσετε αν υπάρχει πολυώνυμο Q με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού n καθώς και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί a_1,\,a_2,\ldots, a_m, τέτοιοι ώστε \displaystyle \big|Q(a_i)-Q(a_j)\big|<|a_i-a_j| για κάθε i,j με 1\leqslant{i}<j\leqslant{m}.

Πρόβλημα 4.
Θεωρούμε n σημεία στο επίπεδο, n\geqslant4, ανά τρία μη-συνευθειακά. Ονομάζουμε A(n) το πλήθος των παραλληλογράμμων εμβαδού 1 που σχηματίζονται με κορυφές αυτά τα σημεία. Να αποδείξετε ότι \displaystyle A(n)\leqslant\frac{n^2-3n}{4}\,, για κάθε n\geqslant4.