Λύση
Παρατηρούμε ότι μία λύση είναι η \( (x,y,z) = (1,1,1) \). Θα δείξουμε ότι είναι και η μοναδική λύση του συστήματος.
Αφαιρώντας τις (1)-(2) έχουμε:
\( x+y^2 + z^3 – y – z^2 – x^3 = 0 \Leftrightarrow x(1-x^2 ) + y(y-1) + z^2 (z-1) =0 [4]\)
Ομοίως λαμβάνουμε από (2)-(3):
\( y(1-y^2 ) + z (z-1) + x^2 (x-1) = 0 [5] \)
Και τώρα με τη διαφορά (4) – z (5) παίρνουμε:
\( x(x-1)(1+x+xz) = y(y-1)(1+z+yz) [6]\)
και ομοίως:
\( y(y-1)(1+y+yx) = z(z-1)(1+x+zx) [7] \)
Εφόσον οι \(x,y,z\) είναι θετικοί, θα ισχύει ότι οι παράγοντες \( (1+x+xz) , (1+z+zy) , (1+y+yx)\) θα είναι επίσης θετικοί.
Οπότε, οι \( (x-1) , (y-1) , (z-1) \) είναι όλοι αρνητικοί, ή θετικοί ή μηδέν και μπορεί να ισχύει μόνο το δεύτερο, άρα η λύση που βρέθηκε είναι μοναδική !