Διαγωνισμοί Μαθηματικών – Σελίδα 13 – Συλλέκτης Σωτήρη Χασάπη

Σε αυτήν την ομάδα δημοσιεύσεων θα προστεθούν σημειώσεις για βασικές γνώσεις προετοιμασίας στον διαγωνισμό «ΘΑΛΗΣ», όπως επίσης και τους υπόλοιπους διαγωνισμούς της ΕΜΕ.

Οι σημειώσεις και τα θέματα δεν μπορούν να είναι επαρκή από μόνα τους για την προετοιμασία για τους διαγωνισμούς.

Έχει διαπιστωθεί ότι η προετοιμασία απαιτεί ένα ελάχιστο όγκο θεωρίας και ασκήσεων κατάλληλα προσαρμοσμένων στο επίπεδο του μαθητή, καθώς επίσης και επίλυση παλαιών θεμάτων.

Για την κατεύθυνση της προετοιμασίας χρησιμοποιείται η ηλεκτρονική τάξη και ο όμιλος Μαθηματικών που μπορεί να λειτουργεί στο σχολείο.

Ταξινόμηση των θεμάτων, με ευρετικές, θεωρία και υποδείξεις μπορείτε να βρείτε και να σχολιάσετε στο νέο (2018) ιστότοπο wiki www.mathwiki.gr.

Μπορείτε να ζητήσετε να εγγραφείτε στο wiki αυτό στο shasapis παπάκι gmail.com.

Επιπλέον, σε κάθε ενότητα, όπως αυτές οργανώνονται μέσω της ηλεκτρονικής τάξης, μπορεί να περιλαμβάνονται και πολυμεσικές εφαρμογές.

Κατεβάστε όλα τα θέματα και τις λύσεις από εδώ.

Θέματα μικρών

Πρόβλημα 1.

Να εξετάσετε αν υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε οι αριθμοί $x+\sqrt{3}$ και $x^2+\sqrt{3}$ να είναι και οι δύο ρητοί.
Να εξετάσετε αν υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε οι αριθμοί $y+\sqrt{3}$ και $y^3+\sqrt{3}$ να είναι και οι δύο ρητοί.

Πρόβλημα 2.
Θεωρούμε τετράγωνο ${\rm{AB}}\Gamma\Delta$ πλευράς $8\,cm$ , το οποίο υποδιαιρούμε με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του σε μικρά τετράγωνα πλευράς $1\,cm$ . Χρωματίζουμε μικρά τετράγωνα μαύρα, ενώ όλα τα υπόλοιπα τετράγωνα είναι λευκά. Υποθέτουμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος , τέτοιος ώστε, ανεξάρτητα από την θέση των μαύρων μικρών τετραγώνων, υπάρχει ορθογώνιο εμβαδού $k\,cm^2$ με πλευρές παράλληλες στις πλευρές του ${\rm{AB}}\Gamma\Delta$ και με όλα τα μικρά τετράγωνα από τα οποία αποτελείται να είναι λευκά, που μπορεί να αποκοπεί από το τετράγωνο ${\rm{AB}}\Gamma\Delta$ . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του .

Πρόβλημα 3.
Θεωρούμε τους θετικούς ακεραίους a,b έτσι ώστε ο αριθμός , όπου $\displaystyle K=\frac{(a+b)^2+4a}{ab}\,,$ να είναι ακέραιος. Να αποδείξετε ότι, αν ο είναι περιττός, τότε ο είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρόβλημα 4.
Δίνεται τρίγωνο ${\rm{AB}}\Gamma$ με ${\rm{AB}}<{\rm{A}}\Gamma<{\rm{B}}\Gamma$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $\rm{O}$ και ακτίνα . Ονομάζουμε $\Delta$ το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής $\rm{A}$ . Θεωρούμε επίσης τον κύκλο c_1 , του οποίου το κέντρο $\rm{K}$ βρίσκεται επάνω στο τμήμα ${\rm{B}}\Delta$ και περνάει από τα σημεία $\rm{B}$ και $\Gamma$ . Αν ο κύκλος c_1 τέμνει την ${\rm{A}}\Gamma$ στο σημείο $\rm{E}$ , να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\rm{BKE}$ , έστω c_2 , εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ${\rm{AB}}\Gamma$ .

——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–

Θέματα μεγάλων

Πρόβλημα 1.
Θεωρούμε την ακολουθία $(x_n),\; n\in\mathbb{N}^{*}\,,$ που ορίζεται αναδρομικά από την σχέση $\displaystyle x_{n+1}=3\,x_n^3+x_n\,,$ με $x_1=\dfrac{a}{b}$ , όπου a,b είναι θετικοί ακέραιοι και ο δεν διαιρεί τον ακέραιο . Αν για κάποιο θετικό ακέραιο ο x_m είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού, να αποδείξετε ότι και ο x_1 είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού.

Πρόβλημα 2.
Δίνονται οξυγώνιο τρίγωνο ${\rm{AB}}\Gamma$ με ${\rm{AB}}<{\rm{A}}\Gamma<{\rm{B}}\Gamma$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του με κέντρο $\rm{O}$ και ακτίνα . Στα μικρά τόξα ${\rm{A}}\Gamma$ και ${\rm{AB}}$ θεωρούμε τα σημεία $\Delta$ και $\rm{E}$ αντίστοιχα. Έστω $\rm{K}$ είναι το σημείο τομής των ${\rm{B}}\Delta,\; \Gamma{\rm{E}}$ και $\rm{N}$ είναι το δεύτερο κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ${\rm{BKE}}$ , έστω c_1 , και $\Gamma{\rm{K}}\Delta$ , έστω c_2 . Να αποδείξετε ότι : τα σημεία ${\rm{A}}$ , ${\rm{K}}$ , ${\rm{N}}$ είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν, το σημείο ${\rm{K}}$ ανήκει στην συμμετροδιάμεσο του τριγώνου ${\rm{AB}}\Gamma$ , που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\rm{A}}$ .

Σημείωση: Συμμετροδιάμεσος τριγώνου είναι η συμμετρική ευθεία της διαμέσου, ως προς την διχοτόμο, που περνάει από την ίδια κορυφή με την διάμεσο.

Πρόβλημα 3.

Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί $n,\,m$ με και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί $a_1,\,a_2,\ldots, a_m$ . Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού το πολύ , για τα οποία ισχύει η ισότητα $\displaystyle \big|P(a_i)-P(a_j)\big|=|a_i-a_j|$ για κάθε με $1\leqslant{i}<j\leqslant{m}$ .
Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί $m,\,n\geqslant2$ με . Να εξετάσετε αν υπάρχει πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού καθώς και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί $a_1,\,a_2,\ldots, a_m$ , τέτοιοι ώστε $\displaystyle \big|Q(a_i)-Q(a_j)\big|<|a_i-a_j|$ για κάθε με $1\leqslant{i}<j\leqslant{m}$ .

Πρόβλημα 4.
Θεωρούμε σημεία στο επίπεδο, $n\geqslant4$ , ανά τρία μη-συνευθειακά. Ονομάζουμε A(n) το πλήθος των παραλληλογράμμων εμβαδού που σχηματίζονται με κορυφές αυτά τα σημεία. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle A(n)\leqslant\frac{n^2-3n}{4}\,,$ για κάθε $n\geqslant4$ .