202103033252 – Άθροισμα γωνιών – mathematica.gr

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=335262&sid=9d8d03b42738b83dac90f0b1a98d20ff#p335262

Υπάρχει τρίγωνο ώστε το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του να είναι μικρότερο των 120 μοιρών..?

Έστω \(x,y,z\) οι γωνίες ενός τριγώνου, με \(x+y+z=180^o\)

Ας υποθέσουμε ότι για αυτό το τρίγωνο ισχύει ότι το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του είναι μικρότερα των \(120^o\).

Τότε όμως θα πρέπει να είναι

\(x+y<120^o, y+z<120^o, z+x<120^o\)
\( \Rightarrow 2(x+y+z)<360^o\)
\( \Rightarrow x+y+z<180^o \),
προφανώς άτοπο.

Δείτε στον αρχικό σύνδεσμο πολλές ακόμα όμορφες λύσεις!