α) πρέπει \(\frac{4n^{2}}{4n^{2}+4n+1} <\frac{n}{n+1}\)
Απλοποιούμε τα \( n \) των αριθμητών. Επειδή \(n\) θετικός, πρέπει να ισχύει
\( 4n(n+1) < 4n^{2}+4n+1 \)
\(4n^{2}+4n < 4n^{2}+4n+1 \)
\(0<1 \), που ισχύει. άρα ισχύει και η αρχική ανισότητα.
β)
\( (\frac{2}{3})^{2}<\frac{1}{2} \)
\( (\frac{4}{5})^{2}<\frac{2}{3} \)
\( (\frac{6}{7})^{2}<\frac{3}{4} \)
συνεχίζοντας…
\( (\frac{2000}{2001})^{2}<\frac{1000}{1001} \)
Οπότε, απλοποιώντας, προκύπτει ότι
\( (\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}. … .\frac{2000}{2001})^{2}<\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}. … .\frac{1000}{1001}=\frac{1}{1001} \)