Α λυκείου – Σελίδα 3 – Συλλέκτης Σωτήρη Χασάπη

202103033252 – Άθροισμα γωνιών – mathematica.gr

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=335262&sid=9d8d03b42738b83dac90f0b1a98d20ff#p335262

Υπάρχει τρίγωνο ώστε το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του να είναι μικρότερο των 120 μοιρών..?

Έστω \(x,y,z\) οι γωνίες ενός τριγώνου, με \(x+y+z=180^o\)

Ας υποθέσουμε ότι για αυτό το τρίγωνο ισχύει ότι το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του είναι μικρότερα των \(120^o\).

Τότε όμως θα πρέπει να είναι

\(x+y<120^o, y+z<120^o, z+x<120^o\)
\( \Rightarrow 2(x+y+z)<360^o\)
\( \Rightarrow x+y+z<180^o \),
προφανώς άτοπο.

Δείτε στον αρχικό σύνδεσμο πολλές ακόμα όμορφες λύσεις!

«Μεσοκάθετος» στο χώρο

Στο σχήμα εδώ https://www.geogebra.org/3d/uecxjfeb βλέπετε ένα ευθύγραμμο τμήμα που βρίσκεται στο γκρι επίπεδο.

Η μπλε ευθεία γραμμή είναι η μεσοκάθκετός του (ως γεωμετρικός τόπος σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του ΑΒ).

Η μαύρη ευθεία γραμμή είναι η μεσοκάθετός του σε ένα άλλο επίπεδο που περιέχει το ΑΒ.

Αν φτιάξουμε «όλα» τα επίπεδα που περιέχουν το ΑΒ ( σκεφτείτε σε ένα τετράδιο ότι το ευθύγραμμο τμήμα της ράχης του περιέχεται σε όλα τα φύλλα του τετραδίου, καθένα από τα οποία είναι και ένα διαφορετικό επίπεδο) και τις μεσοκαθέτους του ΑΒ σε καθένα από αυτά, τότε

θα σχηματιστεί ένα επίπεδο κάθετο σε όλα αυτά τα επίπεδα, τα σημεία του οποίου επιπέδου θα έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουνα από τα ΑΒ.

ΧΡησιμοποιείστε το εργαλείο μετακίνηση για να περιστρέψετε το σχήμα και να δείτε διαφορετικές οπτικές του.

https://www.geogebra.org/3d/uecxjfeb?embed