Ανάλυση γρίφου λογικής με αντίστοιχο διάγραμμα

Στο νησί των ιπποτών και των απατεώνων οι ιππότες λένε πάντα αλήθεια και οι απατεώνες λένε πάντα ψέμματα. Όταν ένας επισκέπτης συνάντησε τρεις ντόπιους, τον Α, τον Β και τον Γ, θέλησε να μάθει ποιος είναι ιππότης. Ρώτησε λοιπόν τον Α: «Ο Β και ο Γ είναι και οι δύο ιππότες;»

– «ΝΑΙ!», απάντησε ο Α. Στη συνέχεια ρώτησε:

– « Ο Β είναι ιππότης;»

– « Όχι »

Τότε ο επισκέπτης μπόρεσε να συμπεράνει αν ο Γ είναι ιππότης ή απατεώνας. Πώς;

Φτιάχνοντας ένα διάγραμμα λογικής:

Αναλύοντας τις περιπτώσεις δημιουργούμε ένα δενδροδιάγραμμα για να ταξινόμησουμε τις απαντήσεις στις ερωτήσεις που τίθενται σε κάθε περίπτωση. Από αυτό θα δούμε ποια συμπεράσματα βγάζουν νόημα, δηλαδή ταιριάζουν με τα δεδομένα.

Μη γραμμικές Διοφαντικές εξισώσεις…

Ένα σύστημα φυσικών αριθμών.

Τετράγωνο περιττού αριθμού…Θ1999Α4

Να αποδειχθεί ότι το τετράγωνο ενός περιττού αριθμού είναι της μορφής \( 8k + 1, k \in \mathbb{Z} \).

Ε2001γ4

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ότι:

\( \left(\frac{2n}{2n+1} \right)^{2}<\frac{n}{n+1} \)

(β) Να αποδείξετε ότι:

\( (\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}. … .\frac{2000}{2001})^{2}<\frac{1}{1001} \)

Θ2007Α4 – Μία Διοφαντική…

Θ2001Α1

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \( \displaystyle{x, y, z} \) ισχύει ότι \( \displaystyle{xyz = 1} \), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

\( \displaystyle{K=\frac{1}{y+1-\displaystyle\frac{y}{x+1}}+ \frac{1}{z+1-\displaystyle\frac{z}{y+1}} + \frac{1}{x+1-\displaystyle\frac{x}{z+1}}} . \)