Θεώρημα Poncelet-Steiner

Γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και «σκουριασμένο» διαβήτη !

https://en.wikipedia.org/wiki/Poncelet%E2%80%93Steiner_theorem

Κατασκευή Παράλληλης από σημείο εκτός ευθείες προς δοσμένη ευθεία ΑΒ με δοσμένο μέσο του ΑΒ

Δείτε την κατασκευή στο παρακάτω gifακι:

https://www.geogebra.org/geometry/mxvcjzuw?embed

Κατασκευή κάθετης προς ευθεία από δοσμένο σημείο.

https://www.geogebra.org/classic/zzquanan

Κατασκευή steiner ευθυγράμμου τμήματος σε δοσμένη ευθεία, με το μέσο του

https://www.geogebra.org/classic/becnhq6t

Κατασκευή Steiner παράλληλης από δοσμένο σημείο σε διάμετρο δοσμένου κύκλου.

https://www.geogebra.org/classic/mftdyqv3

The Poncelet-Steiner theorem says

Everything you can construct with a straightedge and a compass you can construct by the straightedge alone, provided you are given a circle and its center.

Motivated by Mascheroni’s result ↑ J.V.Poncelet conjectured this results in 1812��[1]��and it was proved by J.Steiner [2]��in 1833.

It can be shown that the constructions cannot be done by straightedge alone [3] . By the straightedge alone only the so called linear constructions can be done. For instance, using the straightedge alone, without a circle given, is not sufficient to construct square roots. Even simpler constructions as to half a straight line segment are impossible by the straightedge alone. Another example is the result known as Steiner’s theorem:

Steiner’s Theorem: It is impossible to find the center of a given circle with the straightedge alone.

The basic idea of the following proof goes back to Hilbert. If such a construction would be possible, then it would be preserved by projective transformations.��This due to the basic properties of projective transformation which preserve lines, objects constructible by the straightedge. On the other hand, the circle as a conic section is transformed to a conic section in general.��Even worse, the conjugate diameters 1 of a conic section pre-image may not be transformed to the conjugate diameters of the image. Consequently, the center of circle is not projected to the center of the image.

Πηγή: http://www.cs.cas.cz/portal/AlgoMath/Geometry/PlaneGeometry/GeometricConstructions/PonceletSteinerTheorem.htm

Άρθρο Poncelet-Steiner

33-Poncelet-Steiner-Theorem

Επιπλέον πηγές

http://www.cs.cas.cz/portal/contents.htm

Geogebra: https://www.geogebra.org/m/e4hHkzpa

Η αναλυτική-συνθετική μέθοδος

http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547/2222/Anthologio-Filosofikon-Keimenon_G-Gymnasiou_html-empl/extras/texts/index_04_04/aristotelis_methodologia.html

Η-αναλυτικοσυνθετική-μέθοδος-από-τον-Πλάτωνα-μέχρι-τις-νέες-τεχνολογίες

https://nemertes.lis.upatras.gr/jspui/bitstream/10889/9330/1/%CE%97%20%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CE%BB%CF%85%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE%20%CE%BC%CE%AD%CE%B8%CE%BF%CE%B4%CE%BF%CF%82%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CF%84%CE%BF%CE%BD%20%CE%A0%CE%BB%CE%AC%CF%84%CF%89%CE%BD%CE%B1%20%CE%BC%CE%AD%CF%87%CF%81%CE%B9%20%CF%84%CE%B9%CF%82%20%CE%BD%CE%AD%CE%B5%CF%82%20%CF%84%CE%B5%CF%87%CE%BD%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AF%CE%B5%CF%82.pdf

Προβολική γεωμετρία – Ευστάθιος Βασιλείου 2009

Από τη σελίδα του καθηγητή Ε.Βασιλείου.

http://users.uoa.gr/~evassil/proj.pdf

proj

Περιοδικό Εκθέτης 23 Η αναγκαιότητα ενίσχυσης της γεωμετρικής σκέψης στην Ελληνική Εκπαίδευση – Γιώργος Ρίζος

http://ekthetis.gr/Ekthetis023.pdf

Ρίζος-Γεωμετρία-στην-Εκπαίδευση-Εκθέτης-Ekthetis023

Γεωμετρία Θαλής 2020 – Λύσεις – σχολιασμός από τους μαθητές του Ομίλου Μαθηματικών του ΠΛΕΣΣ

2020-11-13-Note-14-23thalisgeo2020

Κανονικό δεκαεπτάγωνο Γκουντουβάς

Το κανονικό δεκαεπτάγωνο είναι η πλέον χαρακτηριστική περίπτωση γεωμετρικού προβλήματος το οποίο ΔΕΝ μπόρεσαν να επιλύσουν οι αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες.
Δηλαδή, ενώ κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη δεν το κατασκεύασαν. Αυτός που απέδειξε ότι είναι κατασκευάσιμο ήταν ο C. F. Gauss το 1796, ο οποίος έγραψε για αυτό:
Κάθε αρχάριος στη γεωμετρία γνωρίζει ότι διάφορα κανονικά πολύγωνα μπορούν να κατασκευαστούν με γεωμετρικό τρόπο, και συγκεκριμένα το τρίγωνο, το τετράγωνο, το πεντάγωνο, το δεκαπεντάγωνο και όσα προκύπτουν από αυτά μέσω του επαναλαμβανόμενου διπλασιασμού του αριθμού των πλευρών. Αυτά τα γνώριζαν από την εποχή του Ευκλείδη, και φαίνεται πως είχαν πειστεί από τότε ότι η περιοχή της στοιχειώδους γεωμετρίας δεν μπορούσε να διευρυνθεί… Έτσι μου φαίνεται ακόμη πιο αξιοσημείωτο ότι εκτός από τα συνήθη πολύγωνα υπάρχει ένα σύνολο από άλλα που είναι κατασκευάσιμα με γεωμετρικό τρόπο, π.χ το δεκαεπτάγωνο”.

Image may contain: text

Πηγή: Facebook

Γεωμετρία από Valdosta…

By Thanasis Gakopoulos. Enjoy!

Δημοσιεύτηκε από Arsalan Wares στις Σάββατο, 8 Ιουνίου 2019

No photo description available.

 

No photo description available.

No photo description available.