Θεώρημα Poncelet-Steiner

Γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και «σκουριασμένο» διαβήτη !

https://en.wikipedia.org/wiki/Poncelet%E2%80%93Steiner_theorem

Κατασκευή Παράλληλης από σημείο εκτός ευθείες προς δοσμένη ευθεία ΑΒ με δοσμένο μέσο του ΑΒ

Δείτε την κατασκευή στο παρακάτω gifακι:

https://www.geogebra.org/geometry/mxvcjzuw?embed

Κατασκευή κάθετης προς ευθεία από δοσμένο σημείο.

https://www.geogebra.org/classic/zzquanan

Κατασκευή steiner ευθυγράμμου τμήματος σε δοσμένη ευθεία, με το μέσο του

https://www.geogebra.org/classic/becnhq6t

Κατασκευή Steiner παράλληλης από δοσμένο σημείο σε διάμετρο δοσμένου κύκλου.

https://www.geogebra.org/classic/mftdyqv3

The Poncelet-Steiner theorem says

Everything you can construct with a straightedge and a compass you can construct by the straightedge alone, provided you are given a circle and its center.

Motivated by Mascheroni’s result ↑ J.V.Poncelet conjectured this results in 1812��[1]��and it was proved by J.Steiner [2]��in 1833.

It can be shown that the constructions cannot be done by straightedge alone [3] . By the straightedge alone only the so called linear constructions can be done. For instance, using the straightedge alone, without a circle given, is not sufficient to construct square roots. Even simpler constructions as to half a straight line segment are impossible by the straightedge alone. Another example is the result known as Steiner’s theorem:

Steiner’s Theorem: It is impossible to find the center of a given circle with the straightedge alone.

The basic idea of the following proof goes back to Hilbert. If such a construction would be possible, then it would be preserved by projective transformations.��This due to the basic properties of projective transformation which preserve lines, objects constructible by the straightedge. On the other hand, the circle as a conic section is transformed to a conic section in general.��Even worse, the conjugate diameters 1 of a conic section pre-image may not be transformed to the conjugate diameters of the image. Consequently, the center of circle is not projected to the center of the image.

Πηγή: http://www.cs.cas.cz/portal/AlgoMath/Geometry/PlaneGeometry/GeometricConstructions/PonceletSteinerTheorem.htm

Άρθρο Poncelet-Steiner

33-Poncelet-Steiner-Theorem

Επιπλέον πηγές

http://www.cs.cas.cz/portal/contents.htm

Geogebra: https://www.geogebra.org/m/e4hHkzpa

Θέματα συμπληρωματικών Εισαγωγικών εξετάσεων Β λυκείου Προτύπου ΓΕΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σεπτέμβριος 2021 – Υλικό Διδασκαλίας Σ.Χασάπη και άλλων συναδέλφων

Πηγή: Θέματα συμπληρωματικών Εισαγωγικών εξετάσεων Β λυκείου Προτύπου ΓΕΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σεπτέμβριος 2021 – Υλικό Διδασκαλίας Σ.Χασάπη και άλλων συναδέλφων

 

Εισαγωγικές-Ευαγγελικής-202109092

202103033252 – Άθροισμα γωνιών – mathematica.gr

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=335262&sid=9d8d03b42738b83dac90f0b1a98d20ff#p335262

Υπάρχει τρίγωνο ώστε το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του να είναι μικρότερο των 120 μοιρών..?

Έστω \(x,y,z\) οι γωνίες ενός τριγώνου, με \(x+y+z=180^o\)

Ας υποθέσουμε ότι για αυτό το τρίγωνο ισχύει ότι το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του είναι μικρότερα των \(120^o\).

Τότε όμως θα πρέπει να είναι

\(x+y<120^o, y+z<120^o, z+x<120^o\)
\( \Rightarrow 2(x+y+z)<360^o\)
\( \Rightarrow x+y+z<180^o \),
προφανώς άτοπο.

Δείτε στον αρχικό σύνδεσμο πολλές ακόμα όμορφες λύσεις!

«Μεσοκάθετος» στο χώρο

Στο σχήμα εδώ https://www.geogebra.org/3d/uecxjfeb  βλέπετε ένα ευθύγραμμο τμήμα που βρίσκεται στο γκρι επίπεδο.

Η μπλε ευθεία γραμμή είναι η μεσοκάθκετός του (ως γεωμετρικός τόπος σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του ΑΒ).

Η μαύρη ευθεία γραμμή είναι η μεσοκάθετός του σε ένα άλλο επίπεδο που περιέχει το ΑΒ.

Αν φτιάξουμε «όλα» τα επίπεδα που περιέχουν το ΑΒ ( σκεφτείτε σε ένα τετράδιο ότι το ευθύγραμμο τμήμα της ράχης του περιέχεται σε όλα τα φύλλα του τετραδίου, καθένα από τα οποία είναι και ένα διαφορετικό επίπεδο) και τις μεσοκαθέτους του ΑΒ σε καθένα από αυτά, τότε

θα σχηματιστεί ένα επίπεδο κάθετο σε όλα αυτά τα επίπεδα, τα σημεία του οποίου επιπέδου θα έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουνα από τα ΑΒ.

ΧΡησιμοποιείστε το εργαλείο μετακίνηση για να περιστρέψετε το σχήμα και να δείτε διαφορετικές οπτικές του.

https://www.geogebra.org/3d/uecxjfeb?embed

(3) Ευρετήριο Διαγωνισμών της ΕΜΕ – mathematica.gr

Πηγή: (3) Ευρετήριο Διαγωνισμών της ΕΜΕ – mathematica.gr