Σύντομες σημειώσεις, με στοιχεία και μεγαλύτερων τάξεων, για τους μαθητές που ενδιαφέρονται να αναζητήσουν…
5065202102043290-Χασάπης-Σωτήριος-Θεωρία-Αριθμών-για-το-Γυμνάσιο-2014Σταυρόλεξο στα τρίγωνα
202103033252 – Άθροισμα γωνιών – mathematica.gr
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=335262&sid=9d8d03b42738b83dac90f0b1a98d20ff#p335262
Υπάρχει τρίγωνο ώστε το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του να είναι μικρότερο των 120 μοιρών..?
Έστω \(x,y,z\) οι γωνίες ενός τριγώνου, με \(x+y+z=180^o\)
Ας υποθέσουμε ότι για αυτό το τρίγωνο ισχύει ότι το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του είναι μικρότερα των \(120^o\).
Τότε όμως θα πρέπει να είναι
\(x+y<120^o, y+z<120^o, z+x<120^o\)
\( \Rightarrow 2(x+y+z)<360^o\)
\( \Rightarrow x+y+z<180^o \),
προφανώς άτοπο.
Δείτε στον αρχικό σύνδεσμο πολλές ακόμα όμορφες λύσεις!
Κοχλιωδής καμπύλη και εφαπτόμενο διάνυσμα
https://www.geogebra.org/classic/tppa7jje
Ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης του εφαπτόμενου διανύσματος δίνει την καμπυλότητα της καμπύλης, όταν η παραμέτρησή της είναι σε μήκος τόξου.
Τυπολόγιο Παραγώγων
Μαθηματικοί σε συναυλία…
Θεώρημα Darboux – Ενδιαμέσων τιμών για την παράγωγο
Κριτήριο ν-οστής παραγώγου
Με το κριτήριο ν-οστής παραγώγου ή γενικευμένο κριτήριο παραγώγου μπορεί να καθοριστεί πότε τα κρίσιμα σημεία μίας συνάρτησης είναι μέγιστα, ελάχιστα ή σημεία καμπής για μία μεγάλη ομάδα συναρτήσεων
Έστω \(f\) μία πραγματική συνάρτηση σε ένα διάστημα \(c\in I = (a,b)\subset \mathbb{R}\) και \(n\geq 1\) φυσικός αριθμός.
Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν όλες οι παράγωγοι της συνάρτησης \(f\) και είναι μηδέν \( f^{n}(c) =0\) ενώ η \(n+1\) παράγωγος δεν είναι μηδέν.
$$ f'(c) = \cdots =f^{(n)}(c) = 0\quad \text{and}\quad f^{(n+1)}(c) \ne 0$$
Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις για το \( c\in I\).
Αν \(n\) περιττός και \( f^{(n+1)}(c) < 0\) ,τότε \( c \) σημείο τοπικού μεγίστου.
Αν \(n\) άρτιος και \( f^{(n+1)}(c) < , > 0\) ,τότε \( c \) σημείο καμπής.
Αν (n) περιττός και \( f^{(n+1)}(c) > 0\) ,τότε \( c \) σημείο τοπικού ελαχίστου.
