Μήνας: Οκτώβριος 2022

Τετράγωνο περιττού αριθμού…Θ1999Α4

Να αποδειχθεί ότι το τετράγωνο ενός περιττού αριθμού είναι της μορφής \( 8k + 1, k \in \mathbb{Z} \).

Σελίδες: Σελίδα 1, Σελίδα 2

Ε2001γ4

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ότι:

\( \left(\frac{2n}{2n+1} \right)^{2}<\frac{n}{n+1} \)

(β) Να αποδείξετε ότι:

\( (\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}. … .\frac{2000}{2001})^{2}<\frac{1}{1001} \)

Σελίδες: Σελίδα 1, Σελίδα 2

Θ2007Α4 – Μία Διοφαντική…

Σελίδες: Σελίδα 1, Σελίδα 2

Θ2001Α1

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \( \displaystyle{x, y, z} \) ισχύει ότι \( \displaystyle{xyz = 1} \), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

\( \displaystyle{K=\frac{1}{y+1-\displaystyle\frac{y}{x+1}}+ \frac{1}{z+1-\displaystyle\frac{z}{y+1}} + \frac{1}{x+1-\displaystyle\frac{x}{z+1}}} . \)

Σελίδες: Σελίδα 1, Σελίδα 2

Θ2012Α3

Να απλοποιηθεί η παράσταση

\( K = \frac{a^3 + b^3 -a^2 + b^2 + (ab+b^2 ) (a-2b)}{(a+b)^2 – a – b} \)

αν ισχύει \(a+b \neq 0 ,1 \)

Σελίδες: Σελίδα 1, Σελίδα 2

Ταυτότητες και παραγοντοποιήσεις

Μετά τις βασικές του σχολικού βιβλίου:

Να αποδειχθούν.

Εφαρμογή 1η

Αν \(a+b+c=0\), να αποδειχθεί ότι: \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\)